Median – Statistik von Null auf Hundert

Median eines stetigen Merkmals

Den Median brauchen Sie, wenn Sie einen „Mittelwert für Daten mit Ausreißern“ berechnen wollen. Oder wenn Sie nur wenige, aber stark streuende Daten haben. 

Wie funktioniert der Median?

Der Median xME teilt Ihre Urliste in Hälften mit je gleich vielen Merkmalsträgern wie in Abb. 12. Ungefähr gleich viele Merkmalsträger haben eine größere bzw. eine kleinere Merkmalsausprägung als der Median. Der Median xME ist bei ungerader Anzahl n der Merkmalsträger der Wert x(i) der sortierten Urliste, der genau in der Mitte liegt. Bei gerader Anzahl n der Merkmalsträger ist der Median das Mittel aus den beiden mittleren Merkmalsausprägungen.

Median eines stetigen Merkmals

Abb. 12: Stetiges Merkmal X und Lage des Median xME

xME = x(n+1)/2              (wenn n ungerade)
xME = (x(n/2) + x(n/2+1))/2 (wenn n gerade)

Formeln 8: Berechnung des Median xME

Kochrezept

  • Sortieren Sie die Urliste aufsteigend nach der Größe der Merkmalsausprägungen.
  • Bestimmen Sie die Anzahl n der Merkmalsträger.
  • Wenn n ungerade: Suchen Sie den Merkmalsträger i = (n + 1)/2. Der Median ist dann dessen Merkmalsausprägung xME = x(n+1)/2.
  • Wenn n gerade: Suchen Sie die Merkmalsträger i = n/2 und i = n/2 + 1. Der Median ist dann das Mittel der Merkmalsausprägung xME =(x(n/2) +x(n/2+1))/2.

Beispiel

1. Fall – ungerade Anzahl: Gegeben sei die schon sortierte Urliste mit n = 3 Werten. Das könnten die Jahresgehälter von drei Spielern einer Skatrunde sein.

Spieler i 1 2 3
Gehalt x(i) 38.000€ 41.000€ 55.000€

Der mittlere Wert (= der Median) beträgt xME = x((n+1)/2) = x(2) = 41.000€.

2. Fall – gerade Anzahl: Gegeben sei die schon sortierte Urliste mit n = 4 Werten. Das könnten die Jahresgehälter von vier Spielern einer Doppelkopfrunde sein.

Spieler i 1 2 3 4
Gehalt 38.000€ 41.000€ 45.000€ 55.000€

Der Median beträgt xME = (x(n/2) +x(n/2+1))/2 = (41.000€+45.000€)/2=43.000€

EXCEL-Tipp: Den Median berechnen Sie mit =MEDIAN(C4:C13).

Rahmenbedingungen für die Anwendung des Medians

Den Median können Sie für rangskalierte und metrische Daten einsetzen. Er ist ein gut geeigneter Lageparameter für Untersuchungen mit „unschönen Daten“, also Daten mit wenigen Merkmalsträgern oder Merkmalen mit nicht-unimodaler Verteilung. Für nominalskalierte Merkmale (Haarfarbe, Handytarifbezeichnung etc.) ist der Median nicht bestimmbar. Der Median ist robust und verändert sich kaum, wenn Sie Daten mit Ausreißern haben. Ausreißer nennt man Daten, die unerwartet sind oder weit außerhalb einer Verteilung liegen. Ein Beispiel wäre eine hypothetischer Teilnehmer der Doppelkopfrunde aus dem Median- Beispiel mit mehreren Millionen Euro Jahreseinkommen. Weitere Hinweise finden Sie in einem separaten Beitrag „Boxplots“ (folgt).

Quelle

Der Beitrag „Median“ ist ein Ausschnitt aus dem Buch „Statistik von Null auf Hundert„. Das Buch ist online über Springer Link verfügbar. Studenten vieler Hochschulen erhalten dort das Buch über die Hochschulbibliothek kostenfrei.

Ein Erklärvideo zum Median finden Sie auf youtube: https://youtu.be/9ewcTH3WysY

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